Inhalt
Dauer: 4 Semester
Umfang: 120 ECTS
Aufbau des Master-Studiums (4 Semester)
- Analysis und Diskrete Mathematik
– Diskrete Methoden
– Funktionalanalysis
– Komplexe Analysis
- Mathematische Methoden in den Computerwissenschaften (Auswahl aus folgenden Lehrveranstatungen)
– Analyse von Algorithmen
– Algorithmische Geometrie
– Computeralgebra
– Theoretische Informatik
– Geometrie in der Technik
– Computerunterstützte Differentialgeometrie
– Modellbildung und Simulation
– Mathematische Logik
– Gebundene Wahlfächer
– Freie Wahlfächer und Soft Skills
Im Folgenden werden einige aktuelle Forschungsthemen vorgestellt, die im Rahmen des Studiums in den Pflicht- und Wahllehrveranstaltungen behandelt werden.
Symbolisches und numerisches Rechnen, Computeralgebra
Moderne Computeralgebra-Systeme beinhalten in Software gegossenes Know-How zur Lösung mathematischer Probleme auf exakter, symbolischer Ebene. Insbesondere im Bereich der angewandten Analysis stößt man hier jedoch schnell an natürliche Grenzen. Numerische Simulation beruht auf konstruktiven Realisierungen mathematischer Modelle, deren exakte Lösung nicht mit endlichem Aufwand bestimmbar ist. Dabei sind Rechenkomplexität und Genauigkeit gegeneinander abzuwägen.
Komplexität und Berechenbarkeit
Die theoretischen Möglichkeiten und Grenzen bei der rechnerischen Lösung von Problemen wurden erstmals von Alan Turing bestimmt, der mit der Turing-Maschine einen Universalcomputer eingeführt hat, der auch dazu verwendet werden kann, um die Probleme der mathematischen Mindestkomplexität von Berechnungen zu bestimmen.
Das berühmteste offene Problem auf diesem Gebiet ist dabei die Frage, ob dem nichtdeterministischen Algorithmus zur Erfüllung einer aussagenlogischen Formel ein deterministischer Algorithmus gleicher Komplexität entspricht. (NP=P?).Auf die Lösung dieses Problems ist ein Preis von USD 1.000.000 ausgesetzt.
Kryptographie, Informations- und Codierungstheorie
Die moderne Informationsgesellschaft stellt immer höhere Anforderungen an die Übertragung, Sicherheit und Zuverlässigkeit von Daten.
Im Rahmen der Informationstheorie werden die Begriffe Entropie (Unbestimmtheit), Information und Redundanz in Informationssystemen analysiert und Fragen über den Zusammenhang zwischen Übertragungsgeschwindigkeit und -zuverlässigkeit sowie der optimalen Kompression von Daten behandelt.
Die Codierungstheorie beschäftigt sich mit dem Problemkreis der Fehlererkennung und -korrektur. Weder CDs noch Satellitenübertragung wären ohne sie denkbar.
Die Kryptographie stellt heute fernab aller Spionageklischees eine unverzichtbare Grundlage des elektronischen Zahlungverkehrs und aller Formen von e-commerce und e-government dar. Bei all diesen Anwendungen kommen eine Vielzahl von mathematischen Methoden zum Einsatz, die laufend weiterentwickelt werden und einen aktiven Forschungsgegenstand darstellen.
Industrielle Geometrie
Mathematische, insbesondere geometrische Methoden spielen eine zentrale Rolle in einer Reihe eng untereinander vernetzter aktueller Forschungsgebiete. Zu diesen zählen u.a. Bildverarbeitung, Computer Aided Design, Computergraphik, Computer Vision, Geometrische Modellierung und Robotik. Die Anwendungsbereiche erstrecken sich von der Technik über die Naturwissenschaften bis hin zur Angewandten Kunst.
Algorithmen für Graphen und Datenstrukturen
Spezielle Graphenmodelle dienen beispielsweise für die Modellierung des Wachstums des Internets, der Ausbreitung von Infektionen oder sozialer Netzwerkstrukturen.
Die mathematische Analyse der Struktur solcher Graphen, aber auch anderer Objekte (z.B. Datenstrukturen) ist u.a. von Bedeutung für die Performance-Analyse einer Reihe von Algorithmen und für das Design effizienterer Algorithmen.
